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数学を理論的に考える(てらこや新聞80号 加山君のコーナーより)

教育学部数学科に通う、大学生アシスタントが書いてくれました。

テーマ:なぜ(マイナス)×(マイナス)=(プラス)となるのか。

中学校第一学年において、最初に行う単元である正負の数。その中の四則演算において、次のような計算がある。

-4×(-2)=+8

この計算について教科書では、東を+、西を-と考えて、西に4km/時で歩いている状態を仮定し、その歩いている現在より2時間前を考え、例示することにより-4×(-2)という計算の答えが+8、換言すれば東の8kmの位置になるとしている。しかしながら、これは本当に正しいのであろうか。一つ反例を示そう。この現在の位置が東の3kmの位置だったとしたらどうか。この位置から西に4km/時で歩いていて、2時間前なのだから、東の11kmの地点、つまり+11が答えとなる。

ここで考えなければならないのは、正負の数における四則演算における基準である。この(マイナス)×(マイナス)の計算だけでなく、正負の計算においては、±0を基準としているからこそ、-4×(-2)=+8が成立するのである。しかし、字面だけでは分かり辛いと思うので、水槽のモデルを使って(マイナス)×(マイナス)=(プラス)になることを論理的に示していこう。

水槽には現在0の位置まで水が入っている。実際に正負の数の掛け算を考えてみよう。

+2×+4=+8

この計算をまずは考えてみよう。これは水槽ではどのような状況を表すかというと、毎秒水が2ずつ入っていくときの4分後に水は0の位置を基準としてどの位置にあるかということを考えている。よって答えは+8の位置であるから、+2×+4=+8という計算が成立するのである。

さらに別の計算を考えてみる。

-3×+2=-6

これはどのような状況だろうかといえば、毎秒水が3ずつ抜けているときの2分後に水は0の位置を基準としてどの位置にあるかということを考えている。ゆえに、答えは-6の位置であるから、-3×+2=-6という計算が成立するのである。

以上を踏まえ、本日のテーマである(マイナス)×(マイナス)=(プラス)の計算を扱う。

-4×(-2)=+8

この計算における状況は、毎秒水が4ずつ抜けているときの2分前に水は0の位置を基準としてどの位置にあるかということを考えている。

したがって、答えは+8の位置であるから-4×(-2)=+8という計算、ひいては(マイナス)×(マイナス)=(プラス)の計算が存在するのである。

以上で、今回のテーマについては収束させようと思う。数学は小さな疑問を納得して理解していくことでより世界が見える学問であると筆者は考えている。児童、生徒あるいは学生諸君も小さな疑問を自分なりに見つけ考えてほしいと願う。

(実際のてらこや新聞には水槽の図が添付されています)

(T.K)
by terakoya21 | 2011-11-28 17:43 | その他の記事

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